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栈
栈的基本概念
- 定义
- 栈是只允许在一端进行插入或删除操作的线性表
- 栈顶：线性表允许进行插入删除的那一端
- 栈底：固定的，不允许进行插入和删除的另一端
- 空栈：不含任何元素
- 特点：后进先出（LIFO）
- 基本操作
InitStack(&S)：初始化一个空栈SStackEmpty(S)：判断一个栈是否为空，若栈S为空则返回true，否则返回falsePush(&S,x)：进栈，若栈S未满，则将x加入使之成为新栈顶Pop(&S,%=&x)：出栈，若栈S非空，则用x返回栈顶元素GetTop(S,&x)：读栈顶元素，若栈S非空，则用x返回栈顶元素DestroyStack(&S)：销毁栈，并释放栈S占用的存储空间
- 卡特兰数：n个不同元素进栈，出栈元素的不同排列的个数为 1 n + 1 C 2 n n \frac{1}{n+1}C^n_{2n} n+11C2nn
栈的顺序存储结构
- 顺序栈的定义
#define MaxSize 10 //定义栈中元素的最大个数typedef struct{ElemType data[MaxSize]; //静态数组存放栈中元素int top; //栈顶元素
}SqStack;void testStack(){SqStack S; //声明一个顺序栈(分配空间)//连续的存储空间大小为 MaxSize*sizeof(ElemType)
}
- 基本操作
#define MaxSize 10 //定义栈中元素的最大个数typedef struct{ElemType data[MaxSize]; //静态数组存放栈中元素int top; //栈顶元素
}SqStack;//初始化栈
void InitStack(SqStack &S){S.top = -1; //初始化栈顶指针
}//判栈空
bool StackEmpty(SqStack S){if(S.top == -1) //栈空return true;else //栈不空return false;
}//新元素进栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x){if(S.top == MaxSize - 1) //栈满return false;S.top = S.top + 1; //指针先加1S.data[S.top] = x; //新元素入栈/*S.data[++S.top] = x;*/return true;
}//出栈
bool Pop(SqStack &x, ElemType &x){if(S.top == -1) //栈空return false;x = S.data[S.top]; //先出栈S.top = S.top - 1; //栈顶指针减1return true;/*x = S.data[S.top--];*///只是逻辑上的删除，数据依然残留在内存里
}//读栈顶元素
bool GetTop(SqStack S, ElemType &x){if(S.top == -1)return false;x = S.data[S.top]; //x记录栈顶元素return true;
}void testStack(){SqStack S; //声明一个顺序栈(分配空间)InitStack(S);//...
}
- 栈满条件：
top==MaxSize - 顺序栈的缺点：栈的大小不可变
- 共享栈
- 定义：利用栈底位置相对不变的特性，可以让两个顺序栈共享一个一维数组空间，将两个栈的栈底分别设置在共享空间的两端，两个栈顶向共享空间的中间延伸
栈的链式存储结构
与链表类似，入栈和出栈的操作都在链表的表头进行
队列
队列的概念
- 定义：队列是只允许在一端进行插入（入队），在另一端删除（出队）的线性表
- 队头：允许删除的一端
- 队尾：允许插入的一端
- 空队列：不含任何元素的空表
- 队列的特点：先进先出（FIFO）
- 队列的基本操作
InitQueue(&Q): 初始化队列，构造一个空队列QDestroyQueue(&Q): 销毁队列，并释放队列Q所占用的内存空间EnQueue(&Q, x): 入队，若队列Q未满，将x加入，使之成为新的队尾DeQueue(&Q, &x): 出队，若队列Q非空，删除队头元素，并用x返回GetHead(Q,&x): 读队头元素，若队列Q非空，则将队头元素赋值给xQueueEmpty(Q): 判队列空，若队列Q为空，则返回true，否则返回false
队列的顺序存储结构
- 队列的顺序实现
# define MaxSize 10; //定义队列中元素的最大个数
typedef struct{ElemType data[MaxSize]; //用静态数组存放队列元素int front, rear; //队头指针和队尾指针
}SqQueue;
- 初始化操作
//初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){//初始化时，队头、队尾指针指向0Q.rear = Q.front = 0;
}// 判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue 0){if(Q.rear == Q.front) //队空条件return true;else return false;
}
- 入队操作
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){if((Q.rear+1)%MaxSize == Q.front) //队满return false; //队满报错Q.data[Q.rear] = x; //将x插入队尾Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize; //队尾指针加1取模return true;
}
- 出队操作
//出队，删除一个队头元素，用x返回
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){if(Q.rear == Q.front) //队空报错return false; x = Q.data[Q.front];Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize; //队头指针后移动return true;
}
- 获得队头元素
bool GetHead(SqQueue &Q, ElemType &x){if(Q.rear == Q.front) //队空报错return false; x = Q.data[Q.front];return true;
}
- 判断队列已满/已空
- 方案一：牺牲一个存储单元（实现代码同1）
- 初始化时：
rear=front=0; - 队空条件：
Q.rear==Q.front; - 队满条件：
(Q.rear+1)%MaxSize == Q.front - 队列元素个数：
(rear+MaxSize-front)%MaxSize;
- 初始化时：
- 方案二
- 实现
#define MaxSize 10; //定义队列中元素的最大个数 typedef struct{ElemType data[MaxSize]; //用静态数组存放队列元素int front, rear; //队头指针和队尾指针int size; }SqQueue;- 初始化时
rear=front=0; size=0;- 插入成功：
size++; - 删除成功：
size--; - 队满条件：
size==Maxsize; - 队空条件：
size==0;
- 方案三
- 实现
#define MaxSize 10; //定义队列中元素的最大个数 typedef struct{ElemType data[MaxSize]; //用静态数组存放队列元素int front, rear; //队头指针和队尾指针int tag; //最近进行的是删除/插入 }SqQueue;- 初始化时
rear=front=0; tag=0;- 插入成功：
tag=1; - 删除成功：
tag=0; - 队满条件：
rear==front&&tag==1; - 队空条件：
rear==front&&tag==0;
- 方案一：牺牲一个存储单元（实现代码同1）
队列的链式存储结构
- 定义队列
typedef struct LinkNode{ //链式队列结点ElemType data;struct LinkNode *next;
}typedef struct{ //链式队列LinkNode *front, *rear; //队列的队头和队尾指针
}LinkQueue;
-
初始化
- 带头结点
void InitQueue(LinkQueue &Q){//初始化时，front、rear都指向头结点Q.front = Q.rear = (LinkNode*)malloc(sizeof(LinkNode));Q.front -> next = NULL; }//判断队列是否为空 bool IsEmpty(LinkQueue Q){if(Q.front == Q.rear) //也可用 Q.front -> next == NULLreturn true;elsereturn false; }- 不带头结点
void InitQueue(LinkQueue &Q){//初始化时，front、rear都指向NULLQ.front = NULL;Q.rear = NULL; }//判断队列是否为空 bool IsEmpty(LinkQueue Q){if(Q.front == NULL)return true;elsereturn false; } -
入队
- 带头结点
//新元素入队 (表尾进行) void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x){LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode)); //申请一个新结点s->data = x;s->next = NULL; //s作为最后一个结点，指针域指向NULLQ.rear->next = s; //新结点插入到当前的rear之后Q.rear = s; //表尾指针指向新的表尾 }- 不带头结点
//新元素入队 void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x){LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode)); //申请一个新结点s->data = x;s->next = NULL;if(Q.front==NULL){ //在空队列中插入第一个元素Q.front=s; //修改队头队尾指针Q.rear=s;}else{Q.rear->next=s; //新结点插入到rear结点之后Q.rear=s; //修改rear指针} } -
出队
- 带头结点
//队头元素出队 bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){if(Q.front == Q.rear)return false; //空队LinkNode *p = Q.front->next; //p指针指向即将删除的结点x = p->data;Q.front->next = p->next; //修改头结点的next指针if(Q.rear == p) //此次是最后一个结点出队Q.rear = Q.front; //修改rear指针free(p); //释放结点空间return true; }- 不带头结点
//队头元素出队 bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){if(Q.front == Q.rear)return false; //空队LinkNode *p = Q.front; //p指针指向即将删除的结点x = p->data;Q.front = p->next; //修改头结点的next指针if(Q.rear == p){ //此次是最后一个结点出队Q.rear==NULL:Q.front==NULL;} free(p); //释放结点空间return true; }
双端队列
- 定义：只允许从两端插入、两端删除的线性表
- 输入受限的双端队列：允许一端插入，两端删除的线性表
- 输出受限的双端队列：允许两端插入，一端删除的线性表
栈和队列的应用
栈在括号匹配中的应用
#define MaxSize 10 typedef struct{char data[MaxSize];int top;
} SqStack;//初始化栈
InitStack(SqStack &S)//判断栈是否为空
bool StackEmpty(SqStack &S)//新元素入栈
bool Push(SqStack &S, char x)//栈顶元素出栈，用x返回
bool Pop(SqStack &S, char &x)bool bracketCheck(char str[], int length){SqStack S; //声明InitStack(S); //初始化栈for(int i=0; i<length; i++){if(str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{'){Push(S, str[i]); //扫描到左括号，入栈}else{if(StackEmpty(S)) //扫描到右括号，且当前栈空return false; //匹配失败char topElem; //存储栈顶元素Pop(S, topElem); //栈顶元素出栈if(str[i] == ')' && topElem != '(' )return false;if(str[i] == ']' && topElem != '[' )return false;if(str[i] == '}' && topElem != '{' )return false; }}StackEmpty(S); //栈空说明匹配成功
}
栈在表达式值中的应用
中缀表达式
(需要界限符)
- 规则：运算符在两个操作数中间
- 例
- a + b
- a + b - c
- a + b - c*d
后缀表达式 (逆波兰表达式)
- 规则：运算符在两个操作数后面
- 例
- a b +
- ab+ c - / a bc- +
- ab+ cd* -
- 中缀表达式转后缀表达式
- 确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序
- 选择下一个运算符，按照[左操作数 右操作数 运算符]的方式组合成一个新的操作数
- 如果还有运算符没被处理，继续步骤2
“左优先”原则: 只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的 (保证运算顺序唯一)
- 用栈实现中缀表达式转后缀表达式
- 初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况
- 遇到操作数: 直接加入后缀表达式
- 遇到界限符: 遇到 ‘(’ 直接入栈; 遇到 ‘)’ 则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出 ‘(’ 为止。注意: ‘(’ 不加入后缀表达式
- 遇到运算符: 依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到 ‘(’ 或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈
- 按上述方法处理完所有字符后，将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式
- 初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况
- 后缀表达式的计算：从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应的运算，合体为一个操作数
- 用栈实现后缀表达式的计算（栈用来存放当前暂时不能确定运算次序的操作数）
- 从左往后扫描下一个元素，直到处理完所有元素
- 若扫描到操作数，则压入栈，并回到步骤1;否则执行步骤3
- 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应的运算，运算结果压回栈顶，回到步骤1
先出栈的是“右操作数”
前缀表达式 (波兰表达式)
- 规则：运算符在两个操作数前面
- 例
-
- a b
- +ab c
-
- +ab *cd
-
- 中缀表达式转前缀表达式
- 确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序
- 选择下一个运算符，按照[运算符 左操作数 右操作数]的方式组合成一个新的操作数
- 如果还有运算符没被处理，就继续执行步骤2
“右优先”原则: 只要右边的运算符能先计算，就优先算右边的;
- 用栈实现前缀表达式的计算
- 从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素
- 若扫描到操作数则压入栈，并回到步骤1，否则执行步骤3
- 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到步骤1；
先出栈的是“左操作数”
4.中缀表达式的计算(用栈实现)：两个算法的结合： 中缀转后缀 + 后缀表达式的求值
1. 初始化两个栈，操作数栈和运算符栈
2. 若扫描到操作数，压入操作数栈
3. 若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈 (期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈项元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈)
栈在递归中的应用
- 函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束(LIFO)
- 函数调用时，需要用一个栈存储
- 调用返回地址
- 实参
- 局部变量
- 递归调用时，函数调用栈称为 “递归工作栈”
- 每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶
- 每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息
- 缺点： 太多层递归可能回导致栈溢出
数组和特殊矩阵
数组的定义
数组是由n(n>=1)个相同类型的数据元素构成的有限序列，每个数据元素称为一个数组元素，每个元素在n个线性关系中的序号称为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界
数组的存储结构
- 一维数组
- 各数组元素大小相同，物理上连续存放
- 数组下标：默认从0开始
- 数组元素 a[i] 的存放地址 = L O C + i ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) LOC + i * sizeof(ElemType) LOC+i∗sizeof(ElemType)
- LOC为数组起始地址
- 二维数组
- 行优先/列优先存储优点：实现随机存储
- M行N列的二维数组 b[M][N] 中，b[i][j]的存储地址：
- 行优先存储: L O C + ( i × N + j ) × s i z e o f ( E l e m T y p e ) LOC + (i×N + j) × sizeof(ElemType) LOC+(i×N+j)×sizeof(ElemType)
- 列优先存储： L O C + ( j × M + i ) × s i z e o f ( E l e m T y p e ) LOC + (j×M + i) × sizeof(ElemType) LOC+(j×M+i)×sizeof(ElemType)
- 普通矩阵的存储：使用二维数组存储
描述矩阵元素时，行、列号通常从1开始
描述数组时，通常下标从 0 开始
特殊矩阵的压缩存储
矩阵的压缩存储：为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间。
- 对称矩阵
- 若n 阶方阵中任意一个元素 a i , j a_{i,j} ai,j都有 a i , j = a j , i a_{i,j}=a_{j,i} ai,j=aj,i则该矩阵为对称矩阵
- 策略：只存储主对角线+下三角区；按行优先原则将各元素存入一维数组中
- 数组大小： n ( n + 1 ) 2 \frac{n(n+1)}{2} 2n(n+1)
- 元素下标对应关系：k为 a i , j a_{i,j} ai,j在一维数组中的下标
k = { i ( i − 1 ) 2 + j − 1 , i ≥ j ( 下三角区和主对角线元素 ) j ( j − 1 ) 2 + i − 1 , i < j ( 上三角区元素 a i , j = a j , i ) k= \left\{ \begin{array}{l} \frac{i(i-1)}{2}+j-1, \quad i \ge j \quad (下三角区和主对角线元素) \\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1, \quad i<j \quad (上三角区元素a_{i,j}=a_{j,i}) \ \end{array} \right. k={2i(i−1)+j−1,i≥j(下三角区和主对角线元素)2j(j−1)+i−1,i<j(上三角区元素ai,j=aj,i)
- 三角矩阵
- 以主对角线划分，三角矩阵有上（下）三角两种。上（下）三角矩阵的下（上）三角（不含主对角线）中的元素均为常数。在大多数情况下，三角矩阵常数为零
- 策略：按行优先原则将元素存入一维数组中（同对称矩阵）。并在最后一个位置存储常量
- 元素下标对应关系：k为 a i , j a_{i,j} ai,j在一维数组中的下标
k = { i ( i − 1 ) 2 + j − 1 , i ≥ j ( 下三角区和主对角线元素 ) n ( n + 1 ) 2 , i < j ( 上三角区元素 a i , j = a j , i ) k= \left\{ \begin{array}{l} \frac{i(i-1)}{2}+j-1, \quad i \ge j \quad (下三角区和主对角线元素) \\ \frac{n(n+1)}{2}, \quad i<j \quad (上三角区元素a_{i,j}=a_{j,i}) \ \end{array} \right. k={2i(i−1)+j−1,i≥j(下三角区和主对角线元素)2n(n+1),i<j(上三角区元素ai,j=aj,i)
3. 三对角矩阵（带状矩阵）
1. 当 ∣ i − j ∣ > 1 |i-j|>1 ∣i−j∣>1时，有 a i , j = 0 ( 1 ≤ i , j ≤ n ) a_{i,j}=0 (1 \leq i,j \leq n) ai,j=0(1≤i,j≤n)
2. 策略：按行优先(或列优先) 原则，只存储带状部分
3. 元素下标对应关系：k为 a i , j a_{i,j} ai,j在一维数组中的下标 k=2i+j-3
稀疏矩阵
- 非零元系远远少于矩阵元素的个数
- 策略
- 顺序存储——三元组<行,列,值>
- 会失去随机存取的特性
- 十字链表法
- 顺序存储——三元组<行,列,值>