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注：本文的是在理解AVL树的基础上进行讲解的！

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AVL树的实现（万字图文详解）

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1. 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2. 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

1. 红黑树中的性质确保了任意路径上的黑色节点数量相等，这是红黑树能够保持平衡的关键。根据这个性质，我们可以证明红黑树的最长路径中的节点个数不会超过最短路径的节点个数的两倍。
2. 假设红黑树的最短路径上的黑色节点数量为k。由于性质5，任意路径上的黑色节点数量相等，所以最长路径上的黑色节点数量不能少于k个。
3. 现在我们来看最长路径上的节点个数。由于性质4，红色节点的两个子节点都是黑色的，因此最长路径上不能有连续的红色节点。而对于红黑树而言，最长路径上的红色节点数量最多为k，因为最长路径上的黑色节点数量不能少于k个。所以最长路径上的节点个数最多为2k，其中k个是黑色节点，k个是红色节点。
4. 综上所述，红黑树的最长路径中的节点个数不会超过最短路径的节点个数的两倍，即最长路径上的节点个数最多为2k，其中k为最短路径上的黑色节点数量。
5. 这个性质保证了红黑树的高度始终保持在较小的范围内，从而保持了树的平衡性。因为红黑树的高度与最长路径上的节点个数成正比，所以最长路径的节点个数的上限为最短路径的节点个数的两倍，确保了红黑树的平衡性和高效性。

3. 红黑树节点的定义

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;int _bf;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr)//左孩子, _right(nullptr)//右孩子, _parent(nullptr)//父亲, _kv(kv)//存储键值对的成员变量, _col(RED)//默认红色{}
};

具体解释如下：

• _left：指向左子节点的指针。
• _right：指向右子节点的指针。
• _parent：指向父节点的指针。
• _kv：存储键值对的成员变量。这里使用了 pair<K, V> 类型来表示键值对，其中 K 是键的类型，V 是值的类型。
• _col：表示节点的颜色。这里使用了 Colour 枚举类型来表示，可能的取值为 RED 或 BLACK，其中 RED 表示红色，BLACK 表示黑色。
• _bf：平衡因子，用于平衡二叉树的调整。

4. 红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点。
如下：

5. 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

5.1 按照二叉搜索的树规则插入新节点

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;//枚举类型变量
enum Colour
{RED,  //红BLACK //黑
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;int _bf;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED)//默认红色{}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;//！应该能去掉if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}红黑树开整//1.cur为红，parent为红，grandfather为黑，uncle存在且为红//解决方法：p,u变成黑，g变成红，c=g，继续向上调整//2.cur为红，parent为红，grandfather为黑,uncle不存在 or 存在且为黑//解决方法: 单旋：p变红，g变黑，//双旋：c变黑，g变红private:Node* _root = nullptr;
};

5.2 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

5.2.1 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

解决方法：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

5.2.2 情况二: cur为红（此时只需要单旋），p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

解决方法：

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红

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5.2.3 情况三: cur为红（此时需要进行双旋变成情况二），p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

解决方法：

• p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，再对g右单旋即可完成调整；
• 相反，
  p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
  ，再对g左单旋即可完成调整

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完整代码

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;//枚举类型变量
enum Colour
{RED,  //红BLACK //黑
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;int _bf;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED)//默认红色{}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;//！应该能去掉if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}红黑树开整//1.cur为红，parent为红，grandfather为黑，uncle存在且为红//解决方法：p,u变成黑，g变成红，c=g，继续向上调整//2.cur为红，parent为红，grandfather为黑,uncle不存在 or 存在且为黑//解决方法: 单旋：p变红，g变黑，//双旋：c变黑，g变红//parent不为空，且parent->_col==RED（这样保证肯定有祖先，也就是grandfather不为空）while (parent && parent->_col == RED){//    g//  p   u//cNode* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){//    g//  p   u//cNode* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上更新处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;//这儿parent更新完之后可能为空，为空就结束}else//uncle不存在 or 存在且为黑{   //单旋//    g//  p   u//cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;//p变黑grandfather->_col = RED;//g变红}else if (cur == parent->_right){//双旋//    g//  p   u//    cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}//    g//  u   p//        celse//  parent == grandfather->_left{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上更新处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//(uncle不存在 or 存在且为黑){   //单旋//    g         //  u   p           //        c    if (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;//p变黑grandfather->_col = RED;//g变红}	else//cur == parent->_left {//双旋//    g//  u   p//    c  RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}//管你根节点更新成啥了，管你个求，直接把_root->_col改成黑色_root->_col = BLACK;return true;}//左单旋//（1.父亲节点的右边等于右孩子的左边; 2.右孩子的左边等于父亲节点）//【把右孩子的左边给给父亲节点的右边; 2.再把父亲节点给给右孩子的左边】void RotateL(Node* parent){Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;//旋转链接parent->_right = SubRL;SubR->_left = parent;Node* Parent_Parent = parent->_parent;parent->_parent = SubR;if (SubRL){SubRL->_parent = parent;}//和父节点的父节点链接if (_root == parent){_root = SubR;SubR->_parent = nullptr;}else{if (Parent_Parent->_left == parent){Parent_Parent->_left = SubR;}else{Parent_Parent->_right = SubR;}SubR->_parent = Parent_Parent;}}//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;//旋转链接//动一个节点就把他的父亲也变动parent->_left = SubLR;if (SubLR)//SubLR可能为空{SubLR->_parent = parent;}Node* Parent_Parent = parent->_parent;SubL->_right = parent;parent->_parent = SubL;//和父节点的父节点链接if (_root == parent){_root = SubL;SubL->_parent = nullptr;}else{if (Parent_Parent->_left == parent){Parent_Parent->_left = SubL;}else{Parent_Parent->_right = SubL;}SubL->_parent = Parent_Parent;//链接}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}//根节点到当前这条路径的黑色节点个数bool Check(Node *root,int blacknum,const int RefVal){if (root == nullptr){if (blacknum != RefVal){return false;}return true;}//直接反向检查，儿子很复杂，父亲只有一个if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout<<"有连续的红节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){blacknum++;}return Check(root->_left, blacknum, RefVal) && Check(root->_right, blacknum, RefVal);}bool IsBalance(){if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col == RED){return false;}int blacknum = 0;//记录每条路径的黑色节点个数int RefVal = 0;//定一个标准Node* cur = _root;while (cur)//改了一个bug ，之前这儿脑子抽抽了，写成了if{if (cur->_col == BLACK){++RefVal;}cur = cur->_left;}return Check(_root, blacknum,RefVal);}private:Node* _root = nullptr;
};

6. 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

#include <vector>
#include "RBTree.h"int main()
{int arr[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };RBTree<int, int> a;for (auto e : arr){a.insert(make_pair(e, e));}a.InOrder();return 0;
}

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2. 检测其是否满足红黑树的性质

我们可以通过递归地遍历红黑树的节点，并统计根节点到每个叶子节点路径上的黑色节点个数来进行检查。

//根节点到当前这条路径的黑色节点个数
bool Check(Node *root,int blacknum,const int RefVal)
{if (root == nullptr){if (blacknum != RefVal){return false;}return true;}//直接反向检查，儿子很复杂，父亲只有一个if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout<<"有连续的红节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){blacknum++;}return Check(root->_left, blacknum, RefVal) && Check(root->_right, blacknum, RefVal);
}bool IsBalance()
{if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col == RED){return false;}int blacknum = 0;//记录每条路径的黑色节点个数int RefVal = 0;//定一个标准Node* cur = _root;while (cur)//改了一个bug ，之前这儿脑子抽抽了，写成了if{if (cur->_col == BLACK){++RefVal;}cur = cur->_left;}return Check(_root, blacknum,RefVal);
}

函数讲解

Check 函数是一个递归函数，用于检查从当前节点到叶子节点的路径上的黑色节点个数是否与参考值 RefVal 相等。参数 root 表示当前节点指针，blacknum 表示根节点到当前节点的路径上的黑色节点个数，RefVal 是参考值。

• 如果当前节点为空指针，即到达了叶子节点，那么检查路径上的黑色节点个数 blacknum 是否等于参考值 RefVal，如果不相等则返回 false，否则返回 true。
• 如果当前节点的颜色为红色，并且父节点也是红色，表示存在连续的红节点，不符合红黑树的性质，返回 false。
• 如果当前节点的颜色为黑色，将 blacknum 值加一。
• 递归地调用 Check 函数检查左子节点和右子节点，并将当前节点的黑色节点个数 blacknum 作为参数传递。

IsBalance 函数用于检查整个红黑树是否符合红黑树的性质。

• 如果红黑树为空树，即根节点为空，认为是一棵合法的红黑树，返回 true。
• 如果根节点的颜色是红色，违反了红黑树的性质，返回 false。
• 初始化 blacknum 为 0，用于记录每条路径的黑色节点个数。
• 初始化 RefVal 为 0，作为参考值。
• 通过遍历从根节点到最左子节点的路径，统计参考值 RefVal，即路径上的黑色节点个数。
• 调用 Check 函数，传入根节点、路径上的黑色节点个数 blacknum 和参考值 RefVal 进行检查。

#include <vector>
#include "RBTree.h"
int main()
{const int N = 30;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand()%100 );}RBTree<int, int> t;for (auto e : v){if (e == 0){int i = 0;}t.insert(make_pair(e, e));cout << "Insert" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}t.InOrder();//中序打印if (t.IsBalance()){cout << "是平衡二叉树" << endl;}else{cout << "不是平衡二叉树" << endl;}return 0;
}

7. 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

8. 红黑树的应用

1. C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
   C++ STL中的std::map和std::set：这些容器类通常使用红黑树作为底层数据结构，提供了高效的查找、插入和删除操作。

2. 数据库系统：红黑树常被用作数据库索引结构，例如在关系型数据库中，可以使用红黑树来实现B+树索引，提供高效的数据检索和排序功能。

3. 线程调度器：操作系统中的线程调度器通常需要高效地管理和调度线程，红黑树可用于实现定时器和任务调度器，以快速查找和处理就绪的线程。

4. 路由算法：在网络路由算法中，红黑树可以用于快速查找最佳路径和路由表项，提供高效的路由查找和转发功能。

5. linux内核
   文件系统：某些文件系统使用红黑树来管理文件和目录的索引，以支持快速的文件查找和访问。

6. 编译器和解释器：在编译器和解释器中，红黑树可以用于符号表的实现，以支持快速的符号查找和关联。

7. 并发数据结构：在多线程和并发编程中，红黑树可以用于实现并发安全的数据结构，例如并发哈希表、并发有序集合等。

（本章完）