一、什么是树

概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。
2、每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3、树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.1、 概念（重要）

1、结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如图：A的度为6

2、树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如图：树的度为6

3、叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如图：B、C、H、I…等节点为叶结点

4、双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如图：A是B的父结点，A是C的父结点，A是D的父结点…

5、孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如图：B是A的孩子结点，C是A的孩子结点，D是A的孩子结点

6、根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如图：A

7、结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

8、树的高度：树中结点的最大层次； 如图A：树的高度为4，
树的深度：A的深度是1，E的深度是2，J的深度是3，Q的深度是4

9、非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如图：D、E、F、G…等节点为分支结点

10、兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如图：B、C是兄弟结点

11、堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如图：H、I互为兄弟结点

12、结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如图：A是所有结点的祖先

13、子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

14、森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2、树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

孩子兄弟表示法
孩子双亲表示法

1.3、树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二、二叉树

2.1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   
   二叉树 跟我们前面讲的树的区别就在于：二叉树 的 每个结点，最多只能有 两个 “孩子”/子树，最少 零个。
   也就是说：一棵树，如果是二叉树，那么它的每棵子树都是 二叉树【都有左子树 和 右子树】。

注意：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
3. 对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2、两种特殊的二叉树

2.2.1、 满二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树

2.2.2、完全二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3、二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第k层上最多有 2的k-1次方 (k>0) 个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2的k次方-1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有 n0＝n2＋1
   得出一个结论：任何一棵二叉树，叶子结点比度为2的节点多一个

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   （1）若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   （2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   （3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
   

二叉树的练习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

3. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
   A 383
   B 384
   C 385
   D 386

4. 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

答案：
1.B 2.A 3.B 4.B

2.4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储 和 类似于链表的链式存储。
这里，我们讲链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的。常见的表示方式有二叉 和 三叉表示方式。
【二叉 ： 孩子表示法；三叉 ：孩子双亲表示法】

2.4.1、模拟创建二叉树

提前说明：二叉树的构建是一个非常复杂的过程，因为目前作者对二叉树的理解，还不是很深。所以，我们先会创建一个二叉树，但是这种创建方式，很LOW，只是为了应付前期使用，比较简单，不是正确的常用创建方式。

首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点

//首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点
class BTNode{public char val; //值域public BTNode left; //存储左孩子的引用public BTNode right; //存储右孩子的引用/*** 为什么不提供left 和 right的构造方法，这是因为我们创建节点的时候知道左右孩子的引用吗* 肯定是不知道的，所以不用提供* @param val*/public BTNode(char val){this.val = val;}
}public class BinaryTree {//创建一棵二叉树public BTNode creatBTN(){BTNode A = new BTNode('A');BTNode B = new BTNode('B');BTNode C = new BTNode('C');BTNode D = new BTNode('D');BTNode E = new BTNode('E');BTNode F = new BTNode('F');BTNode G = new BTNode('G');BTNode H = new BTNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;E.right = H;C.left = F;C.right = G;return A;}
}

debug调试看一下我们创建的对不对

说明创建的二叉树的对的，
上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解

2.5、二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓****遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础

2.5.1、前序遍历

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树

2.5.2、中序遍历

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树

2.5.3、后序遍历

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

练习

写出下面二叉树的 前中后排序的 序列

前序遍历 ABDEHCFG
中序遍历 DBEHAFCG
后序遍历 DHEBFGCA

2.5.4、 代码实现二叉树的遍历

前序遍历

// 前序遍历public void preOrder(BTNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");postOrde(root.left);postOrde(root.right);}

中序遍历

// 中序遍历public void inOrder(BTNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}

后序遍历

// 后序遍历public void postOrde(BTNode root){if(root == null){return;}postOrde(root.left);postOrde(root.right);System.out.print(root.val + " ");}

总的代码示例：

BinaryTree

//首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点
class BTNode{public char val; //值域public BTNode left; //存储左孩子的引用public BTNode right; //存储右孩子的引用/*** 为什么不提供left 和 right的构造方法，这是因为我们创建节点的时候知道左右孩子的引用吗* 肯定是不知道的，所以不用提供* @param val*/public BTNode(char val){this.val = val;}
}public class BinaryTree {//创建一棵二叉树public BTNode creatBTN(){BTNode A = new BTNode('A');BTNode B = new BTNode('B');BTNode C = new BTNode('C');BTNode D = new BTNode('D');BTNode E = new BTNode('E');BTNode F = new BTNode('F');BTNode G = new BTNode('G');BTNode H = new BTNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;E.right = H;C.left = F;C.right = G;return A;}// 前序遍历public void preOrder(BTNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");postOrde(root.left);postOrde(root.right);}// 中序遍历public void inOrder(BTNode root){if(root == null){return;}preOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.right);}// 后序遍历public void postOrde(BTNode root){if(root == null){return;}preOrder(root.left);preOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");}
}

Dome

public class Dome {public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();BTNode root = binaryTree.creatBTN();System.out.print("前序遍历：");binaryTree.preOrder(root);System.out.println();System.out.print("中序遍历：");binaryTree.inOrder(root);System.out.println();System.out.print("后序遍历：");binaryTree.postOrde(root);}
}

2.5.5、层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

选择题

【参考答案】
1.A
2.A
3.D
4.A

2.6、二叉树的基本操作

获取树中节点的个数

 int cont = 0;// 获取树中节点的个数,以遍历的思路求解public int size1(BTNode root){if(root == null){return 0;}cont++;size1(root.left);size1(root.right);return cont;}// 获取树中节点的个数,以子问题的思路求解public int size2(BTNode root){if(root == null){return 0;}return size2(root.left) + size2(root.right) +1;}

求叶子节点的个数

// 获取叶子节点的个数, 以遍历的思路求解int cont1 = 0;public int getLeafNodeCount1(BTNode root){if(root == null){return 0;}if (root.left == null && root.right == null){cont1++;}getLeafNodeCount1(root.left);getLeafNodeCount1(root.right);return cont1;}// 获取叶子节点的个数 - 以子问题思路求解public int getLeafNodeCount2(BTNode root){if(root == null){return 0;}if(root.left == null && root.right == null){//左子树为null，右子树为null，说明前节点为叶子节点return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);}

获取第K层节点的个数 - 子问题思路

// 获取第K层节点的个数 - 子问题思路public int getKLevelNodeCount(BTNode root, int k){if(root == null){return 0;}if(k == 1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);}

获取二叉树的高度

    // 获取二叉树的高度public int getHeight(BTNode root){if(root == null){return 0;}int left = getHeight(root.left);int right = getHeight(root.right);return left > right ? left + 1 : right + 1;}

检测值为value的元素是否存在

 // 检测值为value的元素是否存在public BTNode find(BTNode root, char val){if(root == null){return null;}if(root.val == val){return root;}//上面的if没有进去说明没有找到，那就要取左树里面找BTNode ret = find(root.left,val);if(ret != null){return ret;}//左树没有找到，就在右树找ret = find(root.right,val);if(ret != null){return ret;}//左树和右树都没有找到，说明二叉树里面没有这个元素return null;}

注意：BTNode 里面存的是地址，所以在有元素的情况下返回得地址，没有元素的时候返回得才是null
所以我们在测试的时候可以使用下面的方式测试

判断一棵树是不是完全二叉树

 // 判断一棵树是不是完全二叉树boolean isCompleteTree(BTNode root){if(root == null){//如果是一颗空树，那也是一棵完全二叉树return true;}//创建一个队列Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();//将头结点入队queue.offer(root);//判断队列为不为空while (!queue.isEmpty()){//如果队列不为空，就将栈顶元素出队列BTNode tmp = queue.poll();if(tmp != null){//如果二叉树不为空，就将左右子树入队queue.offer(tmp.left);queue.offer(tmp.right);}else {//如果二叉树为空，那就跳出循环break;}}//循环结束，就判断栈里面还有没有元素，如果有，那就说明不是完全二叉树//如果没有，那就说明 是完全二叉树while (!queue.isEmpty()){//将栈里面的元素出队列BTNode tmp = queue.poll();if(tmp != null){//判断是不是还有元素，如果没有元素，栈里面全是nullreturn false;}}return true;}

三、有关二叉树的OJ题

3.1、LeetCode 100. 相同的树

public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {if((p != null && q == null) || (p == null && q != null)){return false;}else if(p == null && p == null){return true;}else if(p.val != q.val){//代码走到这里，说明p 和 q 都不为空return false;}//代码走到这里说明 q != null && p != null && q.val == p.valreturn isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right);}

3.2、LeetCode 572. 另一棵树的子树

public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {//判断两棵树是否相同if((p != null && q == null) || (p == null && q != null)){return false;}else if(p == null && p == null){return true;}else if(p.val != q.val){//代码走到这里，说明p 和 q 都不为空return false;}//代码走到这里说明 q != null && p != null && q.val == p.valreturn isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right);}public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {if(root == null || subRoot == null){return false;}//判断两棵树是否相同if(isSameTree(root, subRoot)){return true;}//如果不相同，就判断subRoot是不是root的左子树if(isSubtree(root.left, subRoot)){return true;}//如果不是左子树，就判断subRoot是不是root的右子树if(isSubtree(root.right, subRoot)){return true;}//如果都不是，那就说明subRoot不是root的子树return false;}

3.3、LeetCode 110. 平衡二叉树

	//求二叉树的高度
public int hight(TreeNode root){if(root == null){return 0;}int left = hight(root.left);int right = hight(root.right);return left > right ? left + 1 : right +1;}public boolean isBalanced(TreeNode root) {//空树也是平衡二插树if(root == null){return true;}//求左树的高度int leftHight = hight(root.left);//求右树的高度int rightHight = hight(root.right);//左树和右树的高度差不能大于1//并且左树是平衡的，右树也是平衡的return Math.abs(leftHight - rightHight) <=1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);}