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复杂度分析:
时间复杂度(算法中的基本操作的执行次数);
空间复杂度。
时间复杂度:
实际上我们计算时间复杂度时,我们其实并不需要计算准确的执行次数,只需要大概的执行次数,因此我们在这里使用大O的渐进表示法。常见的时间复杂度O(1), O(N²), O(N), O(logN)。
大O符号:
是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法:
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数;
例:
计算下面代码的时间复杂度
void f(int N)
{int count = 0;for(int k = 0; k < 100; ++k){++count;}
}
答案:O(1)
注:确定的常数次,都是O(1)。
2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项;
例:
计算下面代码的时间复杂度
void f(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; i++){for (int j = 0; j < N; j++){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; k++){count++;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d", count);
}
答案:O(N²)
注:准确的执行次数:N² + 2 * N + 10
随着N的增大,这个表达式中N²对结果的影响最大
3.若最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
例:
计算下面代码的时间复杂度
void f(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){count++;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d", count);
}
答案:O(N)
特殊情况:
例一:
计算下面代码的时间复杂度
void f(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < N; k++){++count;}for (int k = 0; k < M; k++){++count;}
}
答案:O(M + N)
注:假如给了条件:M远大于N,答案是O(M);M和N差不多大,O(M)或O(N)。
例二:
计算下面代码的时间复杂度
const char* s(const char* str, char cha)
{while (*str != '\0'){if (*str == cha){return str;}++str;}return NULL;
}
假设字符串长度是N。
答案:O(N)
注:有些算法的时间复杂度存在最好,平均,最坏情况:
最坏:O(N)
平均:O(N/2)
最好:O(1)
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。
例三:
计算下面代码的时间复杂度
void B(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (!exchange){break;}}
}
答案:O(N²)
注:第一趟冒泡:N
第二趟冒泡:N - 1
........
第N趟:1
以上是个等差数列,所以准确的次数是(N+1)*N/2
时间复杂度为O(N²)
例四:
计算下面代码的时间复杂度
int B(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n;while (begin < end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1);if (a[mid] < x){begin = mid + 1;}else if (a[mid] > x){end = mid;}else{return mid;}}return - 1;
}
答案:O(logN)
注:假设找了X次
2的X的平方 = N
X=logN
因为有很多地方不好写底数,所以一般省略简写成logN。
例五:
计算下面代码的时间复杂度
long long f(size_t N)
{return N < 2 ? N : f(N - 1) * N;
}
答案:O(N²)
注:递归调用了N次,每次递归运算--》O(1)
整体就是O(N)。