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培训网站建设情况,网站搭建软件,流程图制作软件,wordpress simple-ofrom 学习日记_20241117_聚类方法(高斯混合模型) 学习日记_20241117_聚类方法(高斯混合模型) 公式 P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk)πk​ 在高斯混合模型 (GMM) 中,公式 P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk…

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学习日记_20241117_聚类方法(高斯混合模型)

公式 P ( Z = k ) = π k P(Z=k) = \pi_k P(Z=k)=πk

在高斯混合模型 (GMM) 中,公式 P ( Z = k ) = π k P(Z=k) = \pi_k P(Z=k)=πk 描述了选择某个高斯成分 k k k 的概率,其中 Z Z Z 是一个潜在变量(latent variable),表示数据点所属的成分。

详细解释

  1. 潜在变量 Z Z Z

    • Z Z Z 是一个离散随机变量,它的取值范围为 { 1 , 2 , … , K } \{1, 2, \ldots, K\} {1,2,,K},其中 K K K 是模型中高斯成分的数量。每个 k k k 对应一个高斯分布。
  2. 权重 π k \pi_k πk

    • π k \pi_k πk 是与成分 k k k 相关的权重,表示在所有成分中选择成分 k k k 的概率。它满足以下条件:
      • π k ≥ 0 \pi_k \geq 0 πk0(非负性)
      • ∑ k = 1 K π k = 1 \sum_{k=1}^{K} \pi_k = 1 k=1Kπk=1(归一化条件)
  3. 模型解释

    • 这个公式表明,在生成数据的过程中,根据权重 π k \pi_k πk,我们会选择其中一个成分 k k k。这个选择是随机的,但在长期来看,每个成分 k k k 被选择的概率正好等于其权重 π k \pi_k πk

生成过程

在 GMM 的生成过程中,首先选择一个成分 $ Z $,然后在选择的成分下从对应的高斯分布中生成样本 $ X $。这个过程可以概述为:

  1. 从权重分布中选择成分 k k k
    P ( Z = k ) = π k P(Z=k) = \pi_k P(Z=k)=πk

  2. 在选择的成分下,从该成分的高斯分布中生成数据:
    X ∣ Z = k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Z=k \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) XZ=kN(μk,Σk)

例子

假设我们有一个 GMM 模型,其中包含两个高斯成分(即 K = 2 K = 2 K=2),其权重分别为 π 1 = 0.6 \pi_1 = 0.6 π1=0.6 π 2 = 0.4 \pi_2 = 0.4 π2=0.4。这意味着:

  • 有 60% 的概率选择成分 1,生成该成分下的样本。
  • 有 40% 的概率选择成分 2,生成该成分下的样本。

总结

公式 P ( Z = k ) = π k P(Z=k) = \pi_k P(Z=k)=πk 是高斯混合模型的核心部分,定义了数据生成过程中选择每个高斯成分的概率。通过这些成分的加权组合,GMM 能够有效地建模复杂的分布结构。




公式 X ∣ Z = k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Z=k \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) XZ=kN(μk,Σk)

公式 X ∣ Z = k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Z=k \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) XZ=kN(μk,Σk)描述的是在给定潜在变量 Z Z Z 等于某个特定值 k k k 的情况下,随机变量 X X X 的条件分布。这里的含义可以分解为以下几点:

1. 条件分布

  • X ∣ Z = k X | Z=k XZ=k 表示在选择了成分 k k k 的条件下生成的数据点 X X X
  • 这意味着我们只关注在成分 k k k 下生成的数据特性。

2. 高斯分布

  • ∼ N ( μ k , Σ k ) \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) N(μk,Σk) 表示 X X X 服从均值为 μ k \mu_k μk、协方差矩阵为 Σ k \Sigma_k Σk 的多元高斯分布(或正态分布)。
    • 均值 μ k \mu_k μk:这是成分 k k k 的中心位置,表示该成分的“典型”数据点。
    • 协方差矩阵 Σ k \Sigma_k Σk:它描述了成分 k k k 的数据点的分布形状和方向。协方差矩阵的对角线元素表示不同特征的方差,而非对角线元素则表示特征之间的相关性。

3. 模型的生成过程

在高斯混合模型中,生成数据的过程可以总结为以下两步:

  1. 选择成分

    • 根据权重 π k \pi_k πk 随机选择一个成分 k k k
  2. 生成样本

    • 一旦选择了成分 k k k,根据该成分的高斯分布生成数据点 X X X。这可以通过从高斯分布中抽样来实现。

举例说明

假设我们有两个高斯成分 K = 2 K=2 K=2

  • 成分 1: μ 1 = [ 2 , 3 ] \mu_1 = [2, 3] μ1=[2,3] Σ 1 = [ 1 0 0 1 ] \Sigma_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} Σ1=[1001]
  • 成分 2: μ 2 = [ 5 , 7 ] \mu_2 = [5, 7] μ2=[5,7] Σ 2 = [ 2 0 0 2 ] \Sigma_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} Σ2=[2002]
    在生成数据时:
  1. 以一定的概率(例如 π 1 = 0.6 \pi_1 = 0.6 π1=0.6, π 2 = 0.4 \pi_2 = 0.4 π2=0.4)选择成分。
  2. 如果选择成分 1,生成的数据点 X X X 将会满足:
    X ∣ Z = 1 ∼ N ( [ 2 3 ] , [ 1 0 0 1 ] ) X | Z=1 \sim \mathcal{N}\left(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) XZ=1N([23],[1001])
    这意味着生成的点将会在均值 [ 2 , 3 ] [2, 3] [2,3] 附近,并且具有单位方差,表示每个维度独立。

总结

公式 X ∣ Z = k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Z=k \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) XZ=kN(μk,Σk)
是高斯混合模型的核心部分,描述了在选择特定高斯成分 k k k 的情况下数据的分布特性。通过不同成分的组合,GMM 能够灵活地捕捉复杂数据集的结构。

http://www.ritt.cn/news/19333.html

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