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这两个公式是动平衡机中用于描述旋转部件振动行为的动力学方程。它们分别描述了旋转部件在平移振动扭转振动中的运动规律,用于分析不平衡量对系统的影响。以下是详细解释:


1. 第一个公式:平移振动的动力学方程

M d 2 y d t 2 + 2 K y 0 = m 1 ρ 1 ω t M\frac{d^2y}{dt^2} + 2Ky_0 = m_1\rho_1\omega t Mdt2d2y+2Ky0=m1ρ1ωt
2 K y 0 = m 1 ρ 1 ω t − M d 2 y d t 2 2Ky_0 = m_1\rho_1\omega t -M\frac{d^2y}{dt^2} 2Ky0=m1ρ1ωtMdt2d2y
y 0 = m 1 ρ 1 ω t 2 K − M d 2 y 2 K d t 2 y_0 = \frac{m_1\rho_1\omega t}{2K}-\frac{Md^2y}{2Kdt^2} y0=2Km1ρ1ωt2Kdt2Md2y

  • 物理意义:描述旋转部件在**垂直方向(或水平方向)**的平移振动。
  • 变量说明
    • M M M:旋转部件的质量。
    • y y y:旋转部件在垂直方向的位移。
    • K K K:系统的刚度系数。
    • y 0 y_0 y0:平衡位置的位移。
    • m 1 m_1 m1:不平衡质量。
    • ρ 1 \rho_1 ρ1:不平衡质量到旋转中心的距离。
    • ω \omega ω:旋转角速度。
    • t t t:时间。
  • 方程解释
    • 左侧第一项 M d 2 y d t M\frac{d^2y}{dt} Mdtd2y 是惯性力,表示质量 M M M 的加速度。
    • 左侧第二项 2 K y 0 2Ky_0 2Ky0 是弹性恢复力,表示系统刚度对位移的响应。
    • 右侧 m 1 ρ 1 ω t m_1\rho_1\omega t m1ρ1ωt 是不平衡质量产生的离心力,随时间线性变化。
  • 作用:通过求解该方程,可以得到旋转部件在垂直方向的振动响应 y ( t ) y(t) y(t),从而分析不平衡量对平移振动的影响。

2. 第二个公式:扭转振动的动力学方程

J T d 2 α d t + 2 K l 2 α = m 1 ρ 1 z 1 ω 2 cos ⁡ ω t J_T\frac{d^{2}\alpha}{dt} + 2Kl^2\alpha = m_1\rho_1z_1\omega^2\cos\omega t JTdtd2α+2Kl2α=m1ρ1z1ω2cosωt

  • 物理意义:描述旋转部件在扭转方向的振动。
  • 变量说明
    • J T J_T JT:旋转部件的转动惯量。
    • α \alpha α:旋转部件的扭转角。
    • K K K:系统的刚度系数。
    • l l l:扭转振动的特征长度(如轴承间距的一半)。
    • m 1 m_1 m1:不平衡质量。
    • ρ 1 \rho_1 ρ1:不平衡质量到旋转中心的距离。
    • z 1 z_1 z1:不平衡质量在轴向的位置。
    • ω \omega ω:旋转角速度。
    • t t t:时间。
  • 方程解释
    • 左侧第一项 J T d 2 α d t J_T\frac{d^{2}\alpha}{dt} JTdtd2α 是扭转惯性力,表示转动惯量 J T J_T JT 的角加速度。
    • 左侧第二项 2 K l 2 α 2Kl^2\alpha 2Kl2α 是扭转弹性恢复力,表示系统刚度对扭转角的响应。
    • 右侧 m 1 ρ 1 z 1 ω 2 cos ⁡ ω t m_1\rho_1z_1\omega^2\cos\omega t m1ρ1z1ω2cosωt 是不平衡质量产生的周期性扭转力矩。
  • 作用:通过求解该方程,可以得到旋转部件在扭转方向的振动响应 α ( t ) \alpha(t) α(t),从而分析不平衡量对扭转振动的影响。

3. 方程的作用

  • 分析振动特性:通过求解这两个方程,可以得到旋转部件在平移和扭转方向的振动响应,从而分析不平衡量对系统的影响。
  • 确定不平衡量:结合振动信号(如振幅和相位),可以反推出不平衡量的大小和位置。
  • 指导校正:根据振动响应的分析结果,确定需要添加或去除的配重质量和位置,以实现动平衡。

4. 实际应用

  • 在动平衡机中,这两个方程通常用于建立系统的数学模型,结合传感器测量的振动信号,计算不平衡量并生成校正方案。
  • 通过数值方法(如有限元分析或仿真软件)求解这些方程,可以优化动平衡校正过程。

总结

这两个公式是动平衡机中用于描述旋转部件振动行为的动力学方程:

  1. 第一个公式:描述平移振动,用于分析不平衡量对垂直或水平方向振动的影响。
  2. 第二个公式:描述扭转振动,用于分析不平衡量对扭转方向振动的影响。

它们的作用是通过分析振动响应,确定不平衡量的大小和位置,并指导动平衡校正。

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