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合肥网站推广培训企业如何开展网络营销

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【题目】

周长为11,且各边长均为整数的三角形有哪些?

【答案】

四种,边长分别为:

2 4 5

3 3 5

1 5 5

3 4 4

【解析】

讲解等腰三角形的概念时,传统方法一般向学生展示一个等腰三角形的实物模型,这种方法很直观,学生也很容易理解。

但是这种方式本质上是一种“告知”的教授方式,学生在学习的过程中缺少深入思考。

数学的教学建议都从问题出发,问题是引发思考的最佳武器。

比如通过本题,就会让学生在解题过程中自然而然地“发现”等腰三角形,这就变成了从思考中理解“等腰三角形”,而不是从实物中理解。

本题属于一道开放的问题,所谓的开放是指问题有多个解。

一、找三角形

1.学生自主找图形

由于问题比较简单,所有学生都能积极参与,根据构成三条形的条件可以找出符合条件的三方形共有4种:

 

2.讨论找图形的方法

找完图形可以寻问学生找图形的方法,可能学生找的方法不尽相同,大多数人可能都是一个个数去试。

这时候就可以总结归纳出找图形的方法。

因为构成三角形的本质条件是:两边之和大于最长边,即a+b>c,c≥a,c≥b。

注:不明白这个结论的可以参见老金之前的文章:“三角形和直角三角形的构成条件及证明”

三角形和直角三角形的构成条件及证明_三边构成三角形的充要条件

一共有三条边,以哪条边的边长作为抓手去找三角形最快呢?

想想就容易明白,咱们要比较两短边和最长边的关系,而三边之和咱们又知道,所以很容易判断出最长边的最大值是5。因为最长边如果是6以上的话,就会导致两短边之和小于最长边(11-6=5,6>5)。

所以,咱们应以最长边的边长为抓手,从最大边长5开始找。

这就是“有序思考”。

下面依次列举:

(1)最长边为5,也就是两短边之和为6,列举两短边:

3 3

2 4

1 5

一共不就这三种嘛!

(2)最长边为4,两短边之和为7,列举两边:

3 4

2 5

1 6

后两种因为两短边有一边边长已经超过了最长边4,所以不符合,因此只有第一种符合条件。

注意咱们列举的次序,要从a、b值最接近的情况开始列举(即a、b之差最小)。原因很简单,这样的数肯定是最能保证c≥a,c≥b成立,这样一旦遇到列举了数字出现大于c的情况,后面的就不用再列举了。这也是有序思考。

(3)最长边为3的情况,两短边之和为8。

即便a、b取最接近的值(即a=b=4),其值也必然大于最长边,所以后面的情况都不用讨论了,符合条件的就上面4种。

3.求证最长边的取值范围

上述结论也可以通过解不等式的方式得出,但老金实在觉得这种想想就能得出的思路没必要用到不等式。这里仅作证明之用:

a+b>c这个不等式由两部分构成,左边是a+b,右边是c,咱们要判定的是二者的大小关系。

已知a+b+c=11,解上面这个不等式,很容易发现,你无法得出a、b的取值范围,但却可以得出c的取值范围。

将a+b用11-c代入不等式,解得c<11/2。因为边长为整数,所以c只能取值为1、2、3、4、5。

另外,如果你想,还可以求出c的最小值。

因为已知c≥a,c≥b,两不等式相加得2c≥a+b,将a+b+c=11代入不等式,解得c≥11/3,所以c的最小值为4。

从而得出c的取值只有4、5。

完了吗?没完?我们正在接近一个真理。

11是这个三角形的周长,有什么理由想不到11/3≤c<11/2可以表示成P/3≤c<P/2呢?

这正是一个对任何周长、最长边都适用的结论。

也就是说,我们发现了一个定理:任何三角形的最长边都大于等于周长的三分之一,小于周长的一半。

现在你掌握了这个结论,回头你就可以直用这个结论做找三角形的题目了,做题速度自然会大大提升。

其实这个结论没什么高深之处,想想就能明白。就好比有一块大蛋糕,如果两个人分,怎样保证你分到的一定小于另一个人分到的,显然你分到的要小于蛋糕的一半。如果三个人分呢?怎么保证你分到的一定不小于另两个人各自分到的?显然你至少要分到蛋糕的三分之一。因为一旦你分到的小于三分之一,另两人分到的和就会大于三分之二,其中必有一人分到的大于三分之一。

二、三角形分类

找出三角形后,就可以让学生对这4个三角形进行分类,这样才能导出等腰三角形的概念。

因为4个三角形中有3个等腰三角形,就像黑夜中的萤火虫,那样的鲜明,那样的出众,所以学生会很容易发现有的三角形有两条边相等。

这是他们自己发现的概念。

三、等腰三角形的特征

让学生对比找到的等腰三角形与非等腰三角形,猜猜他们有什么不一样?

这时候可能就会有人猜到它们有两个角也相等。

然后就可以尝试证明这个结论。

因为此时已学过全等三角形,要证明并不难。

于是,学生就可以自己导出等腰三角形的性质,这种自己做出东西来的感觉是被告知完全不能比的。

四、三角形坐姿

好看的皮囊千篇一律,有趣的灵魂万里挑一。

虽然同为等腰三角形,咱们找到的这三位长像却不一样。

如果再调整一下它们的坐姿呢。

像前面的三个不同视角(顶角朝上、顶角朝右、顶角朝下)放置等腰三角形,可以为等腰三角形的辨析提供了较好的变式训练。

顶角未必在上,底角也未必在下。

五、为什么是11

最后一个问题,你可曾想过这道题目为什么要把周长设为11?

这其实是因为它是既能构成等腰三角形、又能构成非等腰三角形的最小周长。

你可以试式11以下的周长会不会找出两类三角形。

http://www.ritt.cn/news/23579.html

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